La loi des grands nombres promet que la fréquence observée converge vers la vraie probabilité. Elle ne dit pas à quelle vitesse : l'erreur diminue comme 1/√n. Pour diviser l'erreur par 2, il faut 4 fois plus de tirages ; pour la diviser par 10, il en faut 100 fois plus. C'est le prix de toute simulation de Monte Carlo.
Un sondage de 1 000 personnes donne ±3 points, et passer à 4 000 personnes ne ramène l'erreur qu'à ±1,5. Ce n'est pas un défaut du sondage : c'est la loi de la racine carrée, qui s'applique à toute moyenne d'observations indépendantes.
On tire n observations indépendantes, chacune « en défaut » avec la probabilité p. La fréquence observée f varie autour de p avec un écart-type √(p(1−p)/n). Un intervalle à 95 % est donc f ± 1,96 √(p(1−p)/n) : sa largeur ne dépend que de n, pas de la taille du parc.
Le vrai taux de compteurs en défaut est p. Douze équipes auditent chacune des compteurs un par un et suivent leur fréquence cumulée. Chaque courbe est une équipe ; la zone claire est l'intervalle théorique à 95 %. Déplacez le curseur de n pour lire les 12 résultats au même moment.
Les 12 séries de tirages sont fixes (graine) ; seul le seuil p change. Intervalle théorique de la loi binomiale approchée par une loi normale.
On compare l'erreur absolue de chaque équipe (points) à la demi-largeur théorique, pour des n de 10 à 5 000. Les points se répartissent autour de la courbe : environ 19 sur 20 restent sous elle. Les deux axes sont logarithmiques : la courbe est une droite de pente −½.
Chips : demi-largeur théorique à 95 % pour le taux p choisi plus haut. De n = 10 à n = 1 000, la précision gagne un facteur 10 pour 100 fois plus de tirages.
Voici la démarche, puis un exemple.
import numpy as np rng = np.random.default_rng(42) p, n = 0.10, 200 f = (rng.random(n) < p).mean() # fréquence observée demi = 1.96 * np.sqrt(p * (1 - p) / n) # ~ 0.042 print(f - demi, f + demi) # tirages nécessaires pour ± 1 point n_besoin = 1.96 ** 2 * p * (1 - p) / 0.01 ** 2 # ~ 3457
Un résultat qui contredit l'intuition, vérifié par simulation puis par le calcul exact.
Statistiques, finance quantitative, machine learning, deep learning, LLM, agents IA, MLOps : 321 épisodes avec des simulateurs à manipuler, pas des vidéos.
Statistics, quantitative finance, machine learning, deep learning, LLMs, AI agents, MLOps: 321 interactive episodes with simulators to play with, not videos.