Une durée de vie moyenne cache l'essentiel : deux équipements de même moyenne peuvent casser très tôt, au hasard, ou tous d'un coup à l'usure. La loi de Weibull donne la forme de ce risque avec seulement deux paramètres.
Sur un parc d'équipements (compteurs, transformateurs, pompes), la bonne question n'est pas « combien de temps ça dure ? » mais « à quel rythme ça casse, selon l'âge ? ». Le paramètre β de Weibull répond précisément à cette question : il dit si le risque baisse, reste constant ou monte avec le temps.
La loi de Weibull décrit le temps jusqu'à la panne. Elle n'a que deux réglages, mais ils couvrent la plupart des situations de terrain.
Réglez β, η et un instant t₀. Le graphique du haut montre le taux de panne h(t), celui du bas la probabilité de survie R(t). Essayez β = 1 : le taux est plat, l'équipement ne « vieillit » pas.
Hypothèse du simulateur : loi de Weibull à deux paramètres, sans délai de garantie (pas de durée minimale avant la première panne).
On estime β en traçant les durées de vie sur papier de Weibull : si les points s'alignent, la pente de la droite est β. Ici, une vraie loi (β réel, η = 1 000 h) génère n pannes ; on les ajuste (rangs médians de Bernard), puis on rejoue 1 000 fois le même lot pour voir la dispersion de β estimé.
Le lot est tiré avec une graine fixe : le même réglage donne toujours le même graphique. Le bouton « Nouveau lot » change la graine, pas la loi.
Voici comment lire une analyse de Weibull sans se faire piéger, puis le code pour la refaire.
import numpy as np from scipy.stats import weibull_min durees = np.array([...]) # heures jusqu'à la panne # location fixée à 0 : pas de délai garanti avant la 1re panne beta, loc, eta = weibull_min.fit(durees, floc=0) b10 = eta * (-np.log(0.9)) ** (1 / beta) # 10 % en panne r_500 = np.exp(-(500 / eta) ** beta) # survie à 500 h # intervalle sur beta : rééchantillonnage (bootstrap) rng = np.random.default_rng(0) bs = [weibull_min.fit(rng.choice(durees, len(durees)), floc=0)[0] for _ in range(1000)] ic90 = np.percentile(bs, [5, 95])
Connaître β ne suffit pas : à partir de quel âge remplacer coûte-t-il moins cher que d'attendre la panne ? Calculez-le avec vos coûts.
Statistiques, finance quantitative, machine learning, deep learning, LLM, agents IA, MLOps : 321 épisodes avec des simulateurs à manipuler, pas des vidéos.
Statistics, quantitative finance, machine learning, deep learning, LLMs, AI agents, MLOps: 321 interactive episodes with simulators to play with, not videos.